Юрий Вениаминович более 25 лет своей жизни посвятил правосудию. С 1996 по 2000 работал судьёй Ворошиловского районного суда Волгограда, с 2000 по 2009 - судьей Волгоградского областного суда. С сентября 2009 по 2016 Мелешкин руководил Городищенским районным судом Волгоградской области. С 2016 по 2020 возглавлял Волжский городской суд Волгоградской области.
За свою активную и плодотворную работу 17 июля 2014 года Юрий Вениаминович был награжден Президентом Российской Федерации Владимиром Путиным благодарственным письмом. Также был Мелешкин награжден медалью Судебного департамента при Верховном Суде Российской Федерации «За безупречную службу».
В январе 2020 года судья ушел на заслуженную пенсию.
- Прощание с судьёй в почётной отставке Юрием Мелешкиным состоится 27 августа 2021года в 11:15 в Городском ритуальном комплексе «Память», расположенном по адресу: г. Волгоград, улица им. Землячки,74. Отпевание состоится 27 августа 2021 года в 12:20 на Димитриевском (Центральном) кладбище Волгограда по адресу: улица Карла Либкнехта, дом № 47, - сообщили в объединенной пресс-службе судов Волгоградской области.
